وتر و کمان نظیر آن

در شکل زیر کمان AB نظیر و وتر AB می باشد.

قضیه 1

در هر دایره، قطر عمود بر وتر، آن وتر و کمان نظیر آن وتر را نصف می کند.

فرض: \(CD \bot AB\)

حکم: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}AH = BH\\\end{array}\\{\mathop {{\rm{AD}}}\limits^\frown {\mkern 1mu} = \mathop {{\rm{BD}}}\limits^\frown }\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{OA = OB}\\{}\\{OH = OH}\\{}\\\begin{array}{l} \Rightarrow O\mathop {{\rm{ }}A}\limits^\Delta H \cong O\mathop {{\rm{ }}B}\limits^\Delta H \Rightarrow {{\hat O}_1} = {{\hat O}_2}\\\\ \Rightarrow \mathop {{\rm{AD}}}\limits^\frown {\mkern 1mu} = \mathop {{\rm{BD}}}\limits^\frown \end{array}\end{array}\)

عکس قضیه 1

اگر قطری از دایره، وتر و کمان نظیر آن وتر را نصف کند، آنگاه قطر بر وتر عمود است.

فرض: \({\rm{AH = BH}}\,\,\,{\rm{,}}\,\,\,\mathop {{\rm{AD}}}\limits^\frown {\mkern 1mu} = \mathop {{\rm{BD}}}\limits^\frown \)

حکم: \(CD \bot AB\)

\(\begin{array}{l}AH = BH\\\\OH = OH\\\\OA = OB\\\\ \Rightarrow O\mathop A\limits^\Delta H \cong O\mathop B\limits^\Delta H \Rightarrow {H_1} = {H_2}\\\\ \Rightarrow {{\hat H}_1} = {{\hat H}_2} \Rightarrow CD \bot AB\end{array}\)

قضیه 2

اندازه هر زاویه محاطی برابر است با نصف اندازه کمان مقابل به آن زاویه.

فرض: زاویه محاطی \(\hat A\)

حکم: \(\hat A = \frac{{\mathop {BC}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{2}\)

اثبات:

با وصل کردن B به O داریم:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\hat O}_1} = \hat A + \hat B}\\{}\\{O\mathop {{\rm{ }}A}\limits^\Delta B:\hat A = \hat B}\\{}\\{ \Rightarrow {{\hat O}_1} = 2\hat A \Rightarrow \hat A = \frac{{{{\hat O}_1}}}{2} \Rightarrow {{\hat O}_1} = \mathop {BC}\limits^\frown {\mkern 1mu} }\\{}\\{ \Rightarrow \hat A = \frac{{\mathop {BC}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{2}}\end{array}\)